全文字数｜8.9千阅读时间｜42分钟图片来源｜网络1.低正确率的送分题2.注意「年份数字之和」的特殊规律3.一个月内「求周期」尽量直接数4.最小公倍数的特点5.元素较少就要逐个列出6.简明的逐个代入法7.人数不可分，要「向上取整」8.繁琐的计算导致正确率变低9.相似三角形的特点10.通过选项思考暴力破解的可能性11.通过特殊值快速解出坐标题12.遇到工程题不要急着去「设1」13.把握未知项之间的关键联系14.高难度的空间想象题15.投影定理与球体的特性国考「数量关系」难题（正确率≤60%）解析。一、低正确率的送分题面包房购买一包售价为15元/千克的白糖，取其中的一部分加水溶解形成浓度为20%的糖水12千克，然后将剩余的白糖全部加入后溶解，糖水浓度变为25%。购买白糖花了多少钱？（A）45（B）48（C）36（D）42购买白糖花了多少钱？（A）45（B）48（C）36（D）42正确率58%，易错项A列出题干数据关系：①白糖15元/kg②配20%糖水12kg③加入所有白糖，浓度变为25%④求购买白糖花费本题使用简单的一元一次方程即可解出。根据②可知20%糖水含糖：12×20%=2.4kg设25%糖水中加入的糖设为xkg，则：（2.4+x）/（12+x）=25%→9.6+4x=12+x→3x=2.4，x=0.8购买白糖总量为：2.4+0.8=3.2kg根据①可知总价格为：15×3.2=48元需要注意白糖的重量要算入溶液的重量中。这道题理论上是送分题，但一个小陷阱就让很多考生做错。二、注意「年份数字之和」的特殊规律某人出生于20世纪70年代，某年他发现从当年起连续10年自己的年龄与当年年份数字之和相等（出生当年算0岁）。此人在以下哪一年时，年龄为9的整数倍？（A）年（B）年（C）年（D）年此人在以下哪一年时，年龄为9的整数倍？（A）年（B）年（C）年（D）年正确率56%，易错项C列出题干数据关系：①出生于X年②某年起连续10年年龄=年份数字之和③求选项哪年年龄是9的整数倍本题要从「某年起连续10年年龄=年份数字之和」入手。根据①可知，0年代生人至今的年份数字之和可分为两种情况讨论，即：年前：1+9+后两位年后：2+0+后两位按此人最晚9年生算，年时他也至少21岁，四位数之和太小，不可能满足条件，因此「某年」一定在年前。根据②可知，如果「连续10年」跨年代，则必定出现以下情况：十位数+1（9→，→）十位数-9且个位数直接-9（→由9→0很明显两者均不符合题意，因此这只可能是「19X0-19X9」年，在仅个位数变动的情况下才能发生。共有两种可能：「-」年：年1+9+8=18，-18=（也可以算年的数据，结果同样为），不符合「0年代生」的描述，排除。「-」年：年1+9+9=19，-19=1（也可以算年的数据，结果相同）很明显C选项「年」符合要求，此时此人为-1=36岁，是9的整数倍。本题解题关键就是「某年他发现从当年起连续10年自己的年龄与当年年份数字之和相等」，可以快速得出这描述的是「-」或「-」两个阶段，代入排除「-」即可。涉及年龄数字计算的题目，十有八九和年代（世纪）改变有关。三、一个月内「求周期」尽量直接数为维护办公环境，某办公室四人在工作日轮流打扫卫生，每周一打扫卫生的人给植物浇水。7月5日周五轮到小玲打扫卫生。下一次小玲给植物浇水在哪天？（A）7月15日（B）7月22日（C）7月29日（D）8月5日下一次小玲给植物浇水在哪天？（A）7月15日（B）7月22日（C）7月29日（D）8月5日正确率56%，易错项B列出题干数据关系：①4人轮流打扫，周一浇水②7月5日周五小玲打扫，求下一次浇水时间本题非常简单，一眼可发现选项中离7月5日最远的是8月5日，只有一个月，在这么短的时间内，根据②的描述直接逐个列出小玲打扫时间即可。已知「周末2天不浇水，办公室3人各占1天」，可得小玲的打扫时间为：7月5日周五，8、9、10另3人值班→7月11日周四，12、15、16另3人值班→7月17日周三，18、19、22另3人值班→7月23日周二，23、24、25另3人值班→7月29日周一（C选项正确）。本题虽然是周期问题，但由于周期非常短，没有必要找出规律，采取直接列出的方法是最合适的。如果使用公式，则可知这是一个4日周期，每周7日减去工作日是5日，小玲从第一个周期的第5日开始：∵小玲每周打扫日期提前一天，∴第4周在周一打扫（即经过了3个5日周期到第4周周一），∴7月5日之后即为周末，加上4个周末2天，总共隔了（5×3）+（2×4）=23日，即从7月5日+23+1（隔了23日，要再加1日）=7月29日，C正确。可发现看出这种方法耗时较长，不推荐。一定要具体问题具体分析，不要死板套用公式。四、最小公倍数的特点某超市购入每瓶毫升和毫升两种规格的沐浴露各若干箱，毫升沐浴露每箱20瓶，毫升沐浴露每箱12瓶，定价分别为14元/瓶和25元/瓶。货物卖完后，发现两种规格沐浴露销售收入相同。这批沐浴露中，毫升的最少有几箱？（A）3（B）8（C）10（D）15这批沐浴露中，毫升的最少有几箱？（A）3（B）8（C）10（D）15正确率51%，易错项B列出题干数据关系：①mL、mL两种规格②mL1箱20瓶，14元/瓶；mL1箱12瓶，25元/瓶③两种规格收入相同，求mL最少几箱根据②可知：mL规格每箱20×14=元，mL规格每箱25×12=元。要求在销售收入相同的条件下，mL规格最少，在未给出其他限制条件的前提下，一定是求销售额的「最小公倍数」。总销售额的最小公倍数为：（，）→（28，30）×10→（14,15）×2×10→14×15×2×10=4元mL规格最小销售箱数为：4÷=15，D选项正确本题的解题关键是「两种产品销售收入相同」。在每箱价格不同的情况下，销售收入相同的最小值和最小公倍数有关，理解了这一点就很容易解题了。对于此类题目，一定要先理清题意，确定其属于极限类还是最小公约/公倍数类五、元素较少就要逐个列出某次知识竞猜试卷包括3道每题10分的甲类题，2道每题20分的乙类题以及1道30分的丙类题。参赛者赵某随机选择其中的部分试题作答并全部答对，最终得分为70分。赵某未选择丙类题的概率为多少？（A）1/3（B）1/5（C）1/7（D）1/8赵某未选择丙类题的概率为多少？（A）1/3（B）1/5（C）1/7（D）1/8正确率17%，易错项B列出题干数据关系：①甲10分，3道②乙20分，2道③丙30分，1道④全答对共70分，求未选择丙的概率本题属于多种组合下的概率题，难度较高，解题关键是理解得分的具体情况。根据①②③的描述和④的限制，可列出得分公式：（10×甲）+（20×乙）+（30×丙）=70。其中甲乙丙都为整数且甲≤3，乙≤2，丙≤1。那么可能的情况只有三类：（1）甲=0，乙=2，丙=1只有1种情况：甲未选，乙2题必选，丙1题必选。（2）甲=2，乙=1，丙=1甲=2有3种情况：C（3，2）=3乙=1有2种情况：C（2，1）=2丙=1只有1种情况：1题必选总共有3×2×1=6种情况。（3）甲=3，乙=2，丙=0只有1种情况：甲3题必选，乙2题必选，丙不选。因此赵某总共有1+6+1=8种情况，未选择丙的情况只有（3）中的一种，即丙未选的概率是1/8，D正确。千万不要盲目套用和排列、组合、概率有关的公式，因为本题总共只有8种情况。只要逐个列出所有的可能，这道题就很容易做出来。六、简明的逐个代入法某人租下一店面准备卖服装，房租每月1万元，重新装修花费10万元。从租下店面到开始营业花费3个月时间。开始营业后第一个月，扣除所有费用后的纯利润为3万元。如每月纯利润比上月增加元而成本不变，问该店在租下店面后第几个月收回投资？（A）7（B）8（C）9（D）10如每月纯利润比上月增加元而成本不变，问该店在租下店面后第几个月收回投资？（A）7（B）8（C）9（D）10正确率36%，易错项B列出题干数据关系：①房租1万/月，装修10万②3个月后营业③营业后纯利润3万，随后每月+根据①②可知，总成本为：1万×3+10万=13万根据③直接列出、公式：13≤3+3.2+3.4+3.6……（单位：万元）其中，左边为总支出，右边为总收入，「3」为第4个月，「3.2」为第5个月，以此类推。可知在第4个数3.6，也就是第7个月的时候，后面的总收入达到了13.2，超过总支出收回了投资，A选项正确。需要注意「开始营业后」就要「扣除所有费用」，房租当然也包括在费用中。在考试中，推荐在选项不是很大（如本题最大的D选项只有10）的前提下，采取逐个带入这种超级简明的解题方法，可以最大限度的提高解题速度。本题涉及条件较多，需要计算的步骤较长，难度较高。七、人数不可分，要「向上取整」某抗洪指挥部的所有人员中，有2/3的人在前线指挥抢险。由于汛情紧急，又增派6人前往，此时在前线指挥抢险的人数占总人数的75%。如该抗洪指挥部需要保留至少10%的人员在应急指挥中心，那么最多还能再派多少人去前线？（A）8（B）9（C）10（D）11如该抗洪指挥部需要保留至少10%的人员在应急指挥中心，那么最多还能再派多少人去前线？（A）8（B）9（C）10（D）11正确率39%，易错项B列出题干数据关系：①2/3人在前线②增派6人，变为75%③至少保留10%在中心，求最多再增派多少人本题为送分题，用一元一次方程即可轻松解出。设总人数为x，根据①②可知：2/3x+6=75%x→（75%-2/3）x=6→x=6÷（9/12-8/12）→x=6÷1/12=%的总人数就是7.2人，由于人数必须为整数，所以向上取整为8人，最多再派出：72-8-（72×75%）=64-54=10人，C选项正确。本题部分考生误选B，主要原因是没有注意到人数不可分，把「向上取整」做成了「四舍五入」。此类题一定要保证拿下分数，因为其难度很低，避开陷阱即可。八、繁琐的计算导致正确率变低小张需要在5个长度分别为15秒、53秒、22秒、47秒、23秒的视频片段中选取若干个，合成为一个长度在80~90秒之间的宣传视频。要求每个片段均需完整使用且最多使用一次，并且片段间没有空闲时段。小张最多可能做出多少个不同的视频？（A）6（B）12（C）18（D）24小张最多可能做出多少个不同的视频？（A）6（B）12（C）18（D）24正确率50%，易错项B列出题干数据关系：①5片段长度为15、53、22、47、23②合成视频长度80~90③片段完整、无空闲、最多使用一次，求视频种类数量由①②可知，小张需要选择几个视频片段，找出时间相加在80~90之间的组合。把几个数从大到小排列：53、47、23、22、15，首先从最大数53开始罗列所有的可能：53+47=＞90，排除53+23=76,76+（最小的）15=91＞90，排除53+22+15=90，符合情况然后从47开始数：47+23=70,70+22=92＞90，排除47+23+15=85，符合情况47+22+15=84，符合情况可以看出，符合情况的共三类，分别为：53+22+15=+23+15=+22+15=84根据③可知，每个视频片段放在不同的位置都是不同的视频，即本题适用排列公式（A），不适用组合公式（C），可得视频数为：A（3，3）+A（3，3）+A（3，3）=6+6+6=18个，C选项正确。此类计算量大的题目一定要有耐心才能解得正确答案，需要注意本题适用于排列公式。虽然这道题的计算略不是很大，但计算较为繁琐，因此正确率不高。九、相似三角形的特点一块种植花卉的矩形土地如下图所示：AD边长是AB的2倍，E是CD的中点，甲、乙、丙、丁、戊区域分别种植白花、红花、黄花、紫花、白花。种植白花的面积占矩形土地面积的比例为（）（A）3/4（B）2/3（C）7/12（D）1/2种植白花的面积占矩形土地面积的比例为（）（A）3/4（B）2/3（C）7/12（D）1/2正确率56%，易错项B本题最简洁的解题思路是赋值。给DE赋值后，便可以很快求出⊿BEC的面积为与矩形土地的面积，得出解题重点为求⊿ABO的面积。在已知⊿ABO和⊿DEO相似的情况下，通过AB：DE的长度为2:1，得出以AB和DE为底边，以O向两者做垂线段的长度为高也具有2:1的对应关系，根据矩形边长即可得出O点到AB的长度，从而算出⊿ABO的面积。设DE和EC长度为1，则：DC=AB=2，AD=BC=4。种植白花的为甲和戊，即⊿ABO和⊿BEC，可得：⊿BEC=1×4÷2=2，矩形=4×2=8所占比例=（⊿BEC+⊿ABO）/矩形=（2+⊿ABO）/8⊿ABO和⊿DEO中，由于BD为矩形ABCD的对角线，可得∠ABO=∠ODE，同时∠AOB=∠DOE，→⊿ABO和⊿DEO三个角角度相等，两个三角形相似已知AB：DE=2:1，相似三角形三边比例相同，即：由O点到AB和到DE两点的垂线（即三角形的高）之比也是2:1由于两者之和=矩形的边长=4，且O点到AB的垂线长度占3份中的2份，可得：⊿ABO的高=4×2/3=8/3→⊿ABO的面积为2×8/3÷2=8/3，→甲和戊之和为2+8/3=14/3所占比例=（2+8/3）/8=14/3÷8=7/12，C选项正确。本题主要考察了「相似三角形」这个考点。相似三角形是三角分别相等，三边成比例的两个三角形，即本题中的⊿ABO和⊿DEO，通过比例关系可算出对应的面积。如果没有掌握相似三角形的原理，那么这道题基本没有办法解出。十、通过选项思考暴力破解的可能性某集团企业5个分公司分别派出1人去集团总部参加培训，培训后再将5人随机分配到这5个分公司，每个分公司只分配1人。5个参加培训的人中，有且仅有1人在培训后返回原分公司的概率为（）（A）低于20%（B）在20%~30%之间（C）在30%~35%之间（D）大于35%5个参加培训的人中，有且仅有1人在培训后返回原分公司的概率为（）（A）低于20%（B）在20%~30%之间（C）在30%~35%之间（D）大于35%正确率15%，易错项B列出题干数据关系：①5公司分别派1人②重新分配，每公司分配1人③求有且仅有1人返回原公司的概率列出计算公式：有且仅有1人返回原公司的概率=有且仅有1人返回原公司的情况/全部分配情况根据②可知，5个人分到不同的公司属于不同的分配情况，符合排列公式（A），即：全部分配情况=A（5，5）=本题的难点是「只有1人返回原公司的分配情况」。设5家公司为ABCDE，5名员工也为ABCDE，字母一一对应。以员工A为例，该描述可以分解为两句话：（1）员工A返回了A公司；（2）其他4名员工没有回到自己的公司，即B可以去CDE不能去B,C可以去BDE不能去C……分析之后可得出，（2）是个典型的4个元素的错位排列问题，即D4=9。错位排列公式：D3=2，D4=9，D5=44，D6=，更复杂的一般不会去考察。BCDE员工返回原公司的概率和A员工相同，共有9×5=45种分配情况。因此，所求概率为：45/=37.5%＞35%，D选项正确。那么问题就来了：如果考生不熟悉错位排列的公式，或者不熟悉错位排列的适用场景，应该怎么办呢？这就是国考的精髓之处。相对于排列组合公式，错位排列是一个较为冷门的考点，但本题并不要求考生一定要掌握，其解题奥秘，就在原文中。通过分析我们不难看出，全部的分配情况为A（5，5）=，而ABCDE公司的ABCDE员工没有特殊要求，因此：=5×「员工A返回A公司，其他4名员工没有回到自己的公司」的分配情况（即员工A返回A公司这一情况没有特殊性，BCDE公司和员工也符合）可知「员工A返回A公司，其他4名员工没有回到自己的公司」的分配情况=24观察选项可知，本题数值最大选项D也只有35%，而24的35%约比8大一点（35%比33.33%大一点，24×33.33%=8），即：「最多只需要数出9种情况就能得到正确答案」也就是说，本题可以暴力破解，一个个数所有的分配可能即可，不会浪费太多时间。那么，以上文说的那个情况为例：A员工返回了A公司，其他4名员工没有回到自己的公司，即B可以去CDE不能去B,C可以去BDE不能去C……在这种情况下，以员工B去C公司为例，C只能去BDE。如果C去B，那么D只能去E，E只能去D；如果C去D，那么D只能去E，E只能去B；如果C去E，那么D只能去B，E只能去D。也就是说，B去C的前提下，只有3种情形。同样，B去D、E也是各有3种情形，也就是共有9种。以B去C，C去B为例简单列图就能明白这个关系了（红箭头代表B去C，蓝箭头代表其他所有可能）。可能性一：可能性二：可能性三：虽然上述内容文字描述看上去很复杂，但在草稿纸上列表就是半分钟的事情。这种解法也可得出正确答案。之所以把这个「不知道、不会用错位排列」的解题方法写了这么多，是因为要给各位小伙伴提供另一种一个思考角度，通过选项思考暴力破解的可能性。本题正确率只有15%，如果做对就战胜了绝大多数考生，因此千万不要轻言放弃。十一、通过特殊值快速解出坐标题一正三角形小路如下图所示：甲、乙两人同时从A点出发，朝不同方向沿小路散步，已知甲的速度是乙的2倍。问以下哪个坐标图能准确描述两人之间的直线距离与时间的关系（横轴为时间，纵轴为直线距离）？正确答案为：（A）答案A（B）答案B（C）答案C（D）答案D正确率38%，易错项B已知「等边三角形」和「甲的速度是乙的两倍」，由于等边三角形边长相同，因此：甲走了两条边的距离时，乙走了一条边，两人同时到达右边的顶点。可设该三角形边长为4，乙速度为1，甲速度为2，甲向斜上方的B点出发，乙向右方的C点出发，实心和空心点分别为甲和乙的位置，取甲走到另外两个顶点，以及两个边的中点这四个点时的位置，得下图（黑点为甲，白点为乙）：其中，甲在AB中点、B点、BC中点、C点4个点时走的距离分别为2、4、6、8；乙对应的到达了AC中点的中点、AC中点、AC中点的中点和C点4个点，走的距离分别为1、2、3、4。根据勾股定理简单算出两者的距离：时间=0，甲乙距离为0时间=1，甲乙距离为√3时间=2，甲乙距离为2√3时间=3，甲乙距离为√3时间=4，甲乙距离为0由此可看出，每1个时间甲乙距离变化1个√3，且先上升到2√3再下降到0，所以这是一个简单的线性关系，在时间——直线距离坐标轴上，应当呈先上升的直线，然后呈下降的直线，且起始点和最低点为0，D选项正确。所有坐标题都推荐通过找特殊点然后看对应关系的方式去解题。公考的数量关系题不是高等数学，没有必要去深究坐标图背后的定理，只要找出正确答案即可。一定要根据描述来赋值代入，寻找规律。十二、遇到工程题不要急着去「设1」某商铺甲、乙两组员工利用包装礼品的边角料制作一批花朵装饰门店。甲组单独制作需要10小时，乙组单独制作需要15小时，现两组一起做，期间乙组休息了1小时40分，完成时甲组比乙组多做朵。这批花有多少朵？（A）（B）（C）（D）1这批花有多少朵？（A）（B）（C）（D）1正确率44%，易错项C列出题干数据关系：①甲10小时、乙15小时可做完②一起做，乙休息1小时40分，完成时甲比乙多朵③求这批花多少朵一般来说工程类题目通用的方法为「设1」，而本题也可根据条件①进行最直观的赋值。解法一：最直观赋值根据①可直接赋值：甲组每小时制作15朵乙组每小时制作10朵则这批花有15×10=朵甲乙合作每小时能做出15+10=25朵。根据②可知，乙组休息5/3小时（即1小时40分）期间，甲组工作量为：15×5/3=25朵随后两组合作做了：（-25）÷25=5小时。最终结果为：甲组共做了15×5+25=朵乙组共做了10×5=50朵甲比乙多做了-50=50朵也就是说，两组合作「朵」时，甲比乙多做了50朵。而原题中甲比乙多做了朵，因此按比例关系，这批花共有×（÷50）=×6=朵，B选项正确。解法二：设「1」法设「1」法，是此类题目比较标准、通用的解法。设总工作量为1，那么甲组每小时工作量为1/10，乙组为1/15。两组一起工作前：甲组做了1/10×5/3=1/6工作量还剩：1-1/6=5/6甲乙两组一小时工作量为：1/10+1/15=1/6甲乙一共工作时间为：5/6÷1/6=5小时因此，甲比乙多的工作量为：1/6+（1/10-1/15）×5=1/3=朵即总工作量=÷1/3=朵，B选项正确。本题两种方法都是可以的，方法一较为快捷实用，方法二更加严密准确。对此类题比较熟悉的考生推荐尽量使用方法一的解法，因为看到「10小时」和「15小时」工作完成的条件，可以马上想起在总数朵的前提下，甲乙组每小时分别做出15、10朵。在总数朵基础上快速算出甲比乙多做50朵，按照比例求出×（÷50）=。能凭直接快速接近正确答案，就不要盲目地在遇到「工程量」就去「设1」。本题有「1小时40分」这种不太整的数，计算起来比较麻烦，因此设值非常重要。十三、把握未知项之间的关键联系工厂有5条效率不同的生产线。某个生产项目如果任选3条生产线一起加工，最快需要6天整，最慢需要12天整；5条生产线一起加工，则需要5天整。如果所有生产线的产能都扩大一倍，任选2条生产线一起加工，最多需要多少天完成？（A）11（B）13（C）15（D）30如果所有生产线的产能都扩大一倍，任选2条生产线一起加工，最多需要多少天完成？（A）11（B）13（C）15（D）30正确率50%，易错项B本题没有给出任何具体的量，且涉及未知数据太多，有一定难度。由于是求「工程量」的题，因此可以先设总工作量为1，5条生产线为ABCDE，生产效率由低到高，列出题干数据关系：①A+B+C=1/12②C+D+E=1/6③A+B+C+D+E=1/5所有生产线的产能都扩大一倍→生产线的产能变为2A、2B、2C、2D、2E。任选2条生产线一起加工，最多需要多少天完成→产能最低的2条线完成时间，即（2A+2B）×天数=1，求天数的值。也就是说只要知道A+B的值，用1÷（2A+2B）即可求得结果。根据②③的生产线关系可得：A+B=(A+B+C+D+E)-(C+D+E)=1/5-1/6=1/30，最多需要天数为：1÷2（A+B）=1÷1/15=15，C选项正确。对于未知项较多的题目一定要先列出所有题干给出所有的条件，再寻找其中的关键关系。例如本题不需要知道ABCDE的具体工作效率，只要知道A+B=1/30就可以了。本题有的公考机构用「秒杀法」直接这样分析：6（C+D+E）=5（A+B+C+D+E），解得（C+D+E）=5（A+B），即（C+D+E）要用6天时间，（A+B）要用30天，效率提高一倍，只需要15天。这种解题思路显然是没有道理的。试问在没列出各生产线关系之前，这个人是怎么直接判定条件①A+B+C=1/12没有用的？另外，6（C+D+E）=5（A+B+C+D+E）这个关系和题干思路相比，写的是简洁了，但实际做起来反而更不好想，这么思考一定会额外增加大脑的负担。简单来说，这个「秒杀法」是根据答案写一个最简洁的过程，但是在不知道答案之前，考生并不能确认这个过程是正确的，所以这种方法是不实用的。如果题目中有多个未知项，一定要准确把握未知项之间的关键联系。十四、高难度的空间想象题将一个棱长为整数的正方体零件切掉一个角，得到的截面是面积为的三角形，其棱长最小为（）（A）15（B）10（C）8（D）6其棱长最小为（）（A）15（B）10（C）8（D）6正确率19%，易错项B已知要求的是「棱长最小」，也就是说切掉的角截面三角形「面积最大」。那么，在正方体上怎么切能切出截面最大来呢？答案是尽可能往大切，一直切到「再大就超出一个角的范畴」为止，如下图所示：截面三角形的三个点都位于正方体的三个顶点时，面积最大。再往下切，切掉的就不只是「角」，而是「角+一部分边」了。该三角形的三个边为正方体三个面的对角线，由正方体的特性可知三边相等。设其边长为a，根据勾股定理和三角形面积公式可得：a×（√3/2）a÷2=√3，→a=×4→a=20又由于正方体的每个面都为正方形，已知正方形对角线长为20，根据勾股定理求得正方形边长为：10√2≈10×1.41=14.1。已知正方体边长为整数，所以其最小值为比14.1大的最小整数15，A选项正确。虽然本题要素极为简单，后半部分计算也不难，但错题率超过八成，其原因就是很多考生难以想象出截面三角形「面积最大」时的情形。可见，公考在数量关系题上并非以纯粹的难度拉开差距，而是对考生包括空间想象能力在内的各方面能力进行综合考察，看似简单的题也能难倒很多考生。本题难度非常高，考生需要充分发挥自己的空间想象力。十五、投影定理与球体的特性某次军事演习中，一架无人机停在空中对三个地面目标点进行侦察。已知三个目标点在地面上的连线构成直角三角形，两个点之间的最远距离为米。无人机与三个点同时保持米距离时，其飞行高度为多少米？（A）（B）（C）（D）无人机与三个点同时保持米距离时，其飞行高度为多少米？（A）（B）（C）（D）正确率40%，易错项A设地面3点为ABC，列出题干数据关系：①地面ABC连线为直角三角形，∠ABC为直角②AC之间距离为m③空中无人机距ABC均为m，求无人机高度由①③可知，飞机是一个点，地面是一个面，点到面上三个点的距离相同。如果对投影知识有了解的同学，可以快速判断出该点到平面的投影距离三个点相同，设飞机投影为O点，可得：根据「圆上任意一点到圆直径两点所成的角都是直角」的定理可知，该投影点就在以AC为直径的圆上，即：O为AC中点。OA=OC=÷2=m。根据③可知和勾股定理可知，飞机到O点的投影距离（也就是飞机的高度）为：√-=m，B选项正确。那么问题来了：忘记投影定理（毕竟该定理比较冷门）的小伙伴们要怎么办呢？有一种辅助的解法，即利用球体的特性。还是设一个直角三角形ABC，设飞机为D，由于D点距离ABC三点相同，所以可以设一个以D为球心的球，ABC即为球上三点，形成一个截面。飞机的高度即为D点到截面的垂直距离。由上文解析可推得ABC可以形成一个以AC为直径的圆，而球心到截面圆心的线段必然垂直于该圆，即为飞机高度。圆的半径为÷2=m，球的半径为m，根据勾股定理可求得球心到截面圆心的线段为m，B选项正确。本题数据看似简单，但涉及到数量关系题的「大杀器」——空间想象。空间想象题在「数量关系」中的地位和抒情散文题在「言语理解」与表达中差不多，基本上一出马就能把大半考生杀的人仰马翻，所以这种「大杀器」一般来说一次考试也不会出太多……做题时一定要运动起自己的大脑，思索一切可能的解题方法，不要轻易放弃。

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